Filosoferen vanuit de wiskunde

Hieronder staat het filosoferen vanuit het vak wiskunde centraal. Enerzijds vanuit de verschillende deelgebieden binnen de wiskunde. Anderzijds willen we u een min of meer historisch overzicht bieden van filosofische inzichten van wiskundigen/filosofen. Hierna ligt het accent op het belang van de wiskunde voor Pythagoras en Plato, met bijzondere aandacht voor de vier mathematische ‘kunsten’: de meetkunde, rekenkunde, astronomie en harmonieleer. Aansluitend komt Plato’s ‘verborgen boodschap’ in zijn dialogen aan de orde: de socratische methode. In deel II (zie volgende nieuwsbrief!) zal het accent liggen op de logica en de fenomenologie, met aandacht voor Aristoteles, Descartes, Goethe, Spinoza, Husserl, Wittgenstein, Frege en Derrida.

Wat is wiskunde?
Een veel gehanteerde definitie van de wiskunde (synoniem: mathematica) is:
‘Het bestuderen van patronen en structuren. Met behulp van strikt logische redeneringen probeert men, uitgaande van een zo klein mogelijk aantal basisveronderstellingen (axioma’s) en enkele axiomatisch geformuleerde definities, via een wiskundig bewijs te komen tot het formuleren van uitspraken (stellingen) over de gedefinieerde objecten en de verbanden daartussen.’

Grofweg wordt de wiskunde onderverdeeld in de studie van:

  • hoeveelheden (rekenkunde; bewerkingen die op getallen worden uitgevoerd: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken);
  • structuren (algebra (van het Arabische woord Al-Djabr dat hereniging, verbinding of vervollediging betekent) is dat deel van de wiskunde dat zich bezighoudt met de betrekkingen van door letters en tekens aangeduide grootheden);
  • ruimte (meetkunde of geometrie (van geo-‘aarde’ en metrie-‘meting’ à ‘meten van de aarde’) houdt zich bezig met het bepalen van afmetingen, vormen, de relatieve positie van figuren en de eigenschappen van de ruimte)
  • veranderingen (analyse, ontwikkeld uit de rekenkunde en de meetkunde, ook wel differentiaal- en integraalrekening genoemd; houdt zich bezig met het bestuderen van functies van reële en complexe getallen. Het gaat hierbij met name om de mate van verandering binnen functies, zoals hellingen en krommingen.

 Naast bovengenoemde categorieën zijn er diverse deelgebieden in de wiskunde, zoals:

  • logica (redeneerkunst): De logica is de wetenschap die zich bezighoudt met de formele regels van het redeneren, traditioneel bestudeerd door de filosofie. De  wiskundige (formele, moderne) logica behoort tot de wiskunde;
  • toegepaste wiskunde: bestudeert het gebruik van abstracte wiskundige middelen voor het oplossen van concrete problemen in de wetenschap en de zakenwereld, zoals vraagstukken op het gebied van de statistiek en de kansrekening.[1]

Mathematisme als wereldbeschouwing c.q. waarheidsperspectief
Het mathematisme is de filosofische positiekeuze die de gehele werkelijkheid verklaren wil vanuit getalsmatige verhoudingen. Het heeft de natuurwetten tot object van onderzoek, uitgedrukt in kwantitatieve begrippen (dus niet de geaardheid van de materie uitgedrukt in kwalitatieve begrippen). Voor de ‘hardcore’ mathematici is de hele wereld (en het universum) een soort mechanisch apparaat dat precies kan worden berekend. Ze nemen aan dat de dingen geordend zijn naar maat en getal, en dat uitsluitend datgene geldig is wat in wiskundige (rekenkundige, mathematische) formules kan worden gegoten. Hun denken wordt gekarakteriseerd door logisch denken. Het mathematisme stelt vertrouwen in de mathematische structuur van de werkelijkheid zelf. Dit laat bijvoorbeeld de gulden snede in de natuur zien.

Gulden snede
Verhandelingen over de gulden snede komen we aanvankelijk alleen op wiskundig gebied tegen. De eerste zou geschreven zijn door Theano, een arts en wiskundige die tot de school van Pythagoras behoorde. Maar dit werk zou verloren zijn geraakt. De eerste die er daarna uitdrukkelijk over schreef was Euclides. In zijn Elementen geeft hij de eerst bekende definitie van de gulden snede, die hij aanduidde als “extreme en gemiddelde verhouding”. Zijn verhandeling over het onderwerp werd in 1509 aan de vergetelheid ontrukt door de Italiaan Luca Pacioli. In de Divina Proportione noemt Pacioli de gulden snede de “goddelijke verhouding”. Johannes Keppler beschreef de gulden snede als een kostbaar juweel: “De meetkunde heeft twee grote schatten: de ene is de stelling van Pythagoras, en de andere de verdeling van een lijn in extreme en gemiddelde ratio; de eerste kunnen we vergelijken met een hoeveelheid goud, de tweede mogen we een kostbaar juweel noemen.” Volgens sommigen zou de gulden snede een intrinsieke schoonheid bezitten waardoor die verhouding veel zou voorkomen in klassieke architectuur (Le Corbusier), de schilderkunst (o.a. S. Dali), de levende natuur (o.a. bloembladen, zaadjes, kelkbladeren) en het menselijk lichaam. De esthetische status van de gulden snede blijft tot op heden echter omstreden.

Pythagoras (ca. 580 – 500? v. Chr.)
Voor Pythagoras was het getal een alles overheersend principe dat, ook al komt het in zijn geheel toe aan het denken, de mens terug kan voeren tot de goddelijke oorsprong der dingen. Zoals naar muziek geluisterd wordt, door de beleving van intervallen tussen de hoorbare tonen, zo waren de Pythagoreërs getraind om de wetmatigheden die tussen de getallen heersten te beluisteren. Volgens hen waren de getallen de bouwstenen van het universum. Pythagoras vereerde de getallen. Hij had een enigszins meditatieve verhouding tot de getallen en was minder geïnteresseerd in de praktische toepassing ervan in het rekenen. In de getallen vond hij innerlijk een gegeven, waarmee hij in staat was ordening te doorzien of zelfs te scheppen, een orde waarnaar de dingen zich konden richten. De dingen lieten zich berekenen. Een gedachte, in dit geval een getal, werd daarbij niet beschouwd als een afbeelding van iets buiten mij in de geest, maar werd opgevat als de ontdekking van een tot dan toe verborgen aspect van de dingen. Vandaar de Pythagoreïsche uitspraak: ‘de dingen zijn getallen’. Zoals men met getallen verhoudingen kan weergeven, zo ziet men het ontstaan, bestaan en vergaan der dingen geregeld worden door de dingen zelf, die in verschillende verhoudingen elkaar beroeren en zo of een ontstaan of een vergaan van iets bewerkstelligen. Als allereerste beginsel werd de goddelijke tryade vereerd (denk aan het verhaal van de goddelijke tryade Chton, Chronos en Zeus).

Eén is het grootste getal omdat daarmee de eenheid van het gehele universum wordt uitgedrukt. Twee is het getal van de tegenstelling. Met het getal drie waren alle verhoudingen uitgedrukt waarin de goddelijke oorsprong deel had. Wil de mens kennis hebben over een harmonisch samengaan der dingen, waarin de ontmoeting van dingen ze niet vroegtijdig tot hun ondergang voert, maar ze brengt tot een verhoogd bestaan, in een nieuwe eenheid, dan moet de mens zich laten leiden door vier. Vier is het getal van de gerechtigheid. Hier zien we duidelijk dat de (kwantitatieve) getallen een filosofische kwaliteit krijgen. Met de tetractys, de opeenvolging tot aan vier: 1,2,3,4, had men als het ware een gouden stemsleutel in handen. De tetractys werd symbolisch eveneens als driehoek voorgesteld:

                                      *
                                   *   *
                                *   *   *
                             *   *   *   *
Het beroemdste voorbeeld waarin de tetractys als beginsel van harmonie gebruikt is, is de toonladder. De verhouding 1:2 in snaarlengte geeft het octaaf te horen, 2:3 een kwint en 3:4 een kwart. Daarmee kunnen vervolgens alle andere tonen gevormd worden. Onze huidige diatonische toonladder is slechts een ‘haar’ anders. Pythagoras geloofde niet alleen dat de tetractys symbool stond voor de structuur van muziek, maar ook voor de eerste beginselen van de natuur (aarde, water, lucht en vuur) en voor de harmonie van de kosmos.

Pythagoras streefde harmonie en reinheid (loutering) van de ziel na, wat volgens hem bevorderd kon worden door onder andere de kennis van getalverhoudingen. In Croton (het huidige Zuiditaliaanse Crotone) stichtte Pythagoras zijn beroemde filosofische school. Hij had veel aanhangers die zich ‘Pythagoreërs’ noemden. Pythagoras was het hoofd van een groep naaste volgelingen die ‘mathematikoi’ werden genoemd. Zij leefden permanent binnen de muren van de ‘gemeenschap’. Ze hadden geen persoonlijke bezittingen en waren vegetariërs. Ze kregen les van Pythagoras zelf en gehoorzaamden aan strakke regels. Ze leerden o.a.:

  • dat het wezen van alles wiskunde is;
  • dat filosofie kan helpen bij het bereiken van geestelijke zuiverheid;
  • de ziel één kan worden met het goddelijke;
  • dat bepaalde symbolen een mystieke betekenis hebben;
  • dat ze onderling strikte loyaliteit moesten betrachten.

Het natuurlijke getal
Pythagoras en zijn volgelingen beleefden een getal niet los van de eenheid die er de grondslag van vormde. Men hechtte er grote waarde aan om van twee in een relatie gegeven dingen de verhouding te vinden en deze in twee passende getallen uit te drukken. Daarom waren de getallen zo waardevol, omdat ze zicht gaven op de eenheid. De getallen wezen de weg tot het wezenlijke binnen de veranderlijke en chaotische zintuiglijke wereld. Daarbij was een getal voor de Pythagoreërs vanzelfsprekend een positief geheel getal, een natuurlijk getal. De beroemde stelling van Pythagoras, a2 + b2 = c2 waarmee de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek berekend kan worden uit de lengten van beide rechthoekszijden, werd stap voor stap ontwikkeld.

Plato (424 – 344 v. Chr.)
De school van Pythogoras heeft grote invloed gehad op het denken van Plato. Voor Plato was de wiskunde als zintuigvrij denken een voorbereiding op het intellectuele schouwen van de Ideeën/Vormen. Inzicht krijgen in (de wereld van) de onveranderlijke, eeuwige en perfecte Ideeën/Vormen betekent dat je tot volmaakte kennis bent gekomen van dat wat de hoogste graad van werkelijkheid is, de Vormen in het licht van het Goede[2]. Plato was van mening dat de wereld om ons heen slechts een afgeleide is van de ‘echte’ werkelijkheid; de werkelijkheid van de Ideeën/Vormen. Om die ‘echte’ werkelijkheid te leren kennen is volgens Plato het denken in de zin van redeneren de een na hoogste vorm van denken: het is een denken dat op basis van hypothesen stap voor stap naar conclusies leidt (de bewijstheoretische aard van de wiskunde). Daarbij heeft Plato in ieder geval het wiskundig denken voor ogen, vandaar dat kennis van wiskunde onontbeerlijk was op Plato’s Academie. Volgens de overlevering stond boven de poort van zijn academie het volgende opschrift: Wie onbekend is met de geometrie zal niet door deze poort gaan. Plato zag de zuivere wiskunde, met name de meetkunde, als opvoedingsmiddel voor de ziel, als gymnastiek voor de geest, als opstapje naar de wereld van de Vormen, door je los te weken van de vergankelijke zintuiglijke wereld. De hoogste mentale activiteit is volgens Plato een vorm van denken waarbij het contact tussen het voorwerp en degene die denkt heel direct is. Het gaat gepaard met een onmiddellijk inzicht in het voorwerp; je zou het kunnen vergelijken met een soort intuïtie, waarbij direct begrepen wordt waar het om gaat zonder dat er eerst een redenering aan voorafgaat. Met deze vorm van denken laat ook Socrates het filosofische denken in strikte zin samenvallen.

Op zoek naar inzicht (de Idee): de socratische methode en de tetractys
In zijn Timaeus, een van Plato’s beroemdste theoretische verhandelingen waarin hij zijn natuurfilosofie uiteenzet in dialoogvorm, gebruikt Plato de tetractys als structuurprincipe van de menselijke ziel. De figuur staat ook afgebeeld op beroemde fresco van Rafaël Santi De school van Athene, te bezichtigen in de Vaticaanse musea. Linksonder in het fresco zien we Pythagoras, diep verzonken in zijn studies. Een leerling houdt hem een schrijftafel voor, waarop aan de bovenkant de muzikale verhoudingen uit de harmonieleer zijn weergegeven. Aan de onderkant is de tetractys te zien. De boodschap lijkt te zijn dat muziek en filosofie vergelijkbaar zijn. Zoals je in de muziek vanuit de grondtoon, do, via de tonen van de toonladder opklimt naar een toon die hetzelfde is en toch niet hetzelfde, het octaaf, zo klim je in de filosofische analyse op van de empirische werkelijkheid naar de werkelijkheid van de Idee, die hetzelfde is en tegelijk heel anders.[3]

De socratische methode
Om een Idee in het vizier te krijgen, kun je de socratische methode toepassen. De weergave van deze methode is vrijwel volledig ontleend aan het inspirerende boek De jacht op een idee – visie, strategie, filosofie van Jos Kessels (pagina 139-141). De methode houdt in dat je de vier verschillende niveaus moet onderzoeken en tien afzonderlijke vragen (zie (1) t/m (10)) trachten te beantwoorden:

                                                vorm                                                                         Idee

                                   groot                  klein                                                   betekenis

                       buik                   hart                  hoofd                                        persoon
 
   situatie             waarvandaan          waarheen             kwestie                 feiten

Niveau 4: de feiten/buitenwereld/‘wat er is’: situatie, waarvandaan, waarheen, kwestie
Niveau 3: persoon/ziel/binnenwereld: buik, hart, hoofd
Niveau 2: betekenis/mogelijke denkvormen: groot/klein (de onbepaalde tweeheid)
Niveau 1: Vorm (de Idee, het allesbepalende principe dat alle delen van de situatie tot één geheel ordent, en ook onszelf tot één geheel maakt)

Hieronder staan de vragen en opdrachten (1) t/m (10) beschreven die bij de socratische methode in chronologische volgorde worden behandeld. Let op! Voordat een socratisch gesprek kan beginnen, dient eerst de te onderzoeken uitgangsvraag geformuleerd te worden. Dit is een door alle deelnemers gewenste én een uit eigen ervaring te beantwoorden vraag!

Niveau 4: het niveau van de feiten
(1)Beschrijf een ervaring uit je eigen leven, gerelateerd aan de uitgangsvraag;
Geef een situatieschets: Wat is er gebeurd, onder welke omstandigheden?;

(2)Waarvandaan: Wat is de achtergrond, de geschiedenis van de situatie? Wat was het hittepunt, het cruciale moment, de crisis of onvermijdelijke keuze?

(3)Waarheen: hoe zal (zou) de situatie zich verder ontwikkelen als er niets was gebeurd? Wat is de verwachte toekomst, het vooruitzicht dat inherent is aan de situatie?

(4) Afhankelijk van de tijd en het aantal deelnemers aan het socratisch gesprek wordt een aantal voorbeeldervaringen uitgewisseld. Deelnemers mogen elkaar bevragen over de ingebrachte voorbeeldervaringen, waarna:
– gezamenlijk een keuze uit één van de ingebrachte ervaringen wordt gemaakt;
– degene van wie de voorbeeldervaring is gekozen, beantwoordt plenair in ieder geval de volgende vragen:

Niveau 3: het niveau van de persoon
(5) Wat deed je toen (tijdens het hittepunt)? (buik, willen)
(6) Wat voelde je toen? (hart, voelen)
(7) Wat dacht je toen? (hoofd, denken)

Niveau 2: het niveau van betekenis
Eerst dient de voorbeeldgever het hittepunt van zijn/haar gekozen voorbeeld in één zin/kernbewering te ‘vangen’, en wel in de volgende vorm:

Toen…hittepunt…voelde/dacht/deed ik…., want…

Vervolgens worden de overige deelnemers van het socratisch gesprek verzocht zich te verplaatsen in de situatie van de voorbeeldgever en dezelfde zin/kernbewering op eigen wijze in te vullen en op te schrijven. Een aantal deelnemers, afhankelijk van het aantal deelnemers en de beschikbare tijd, wordt uitgenodigd hun kernbewering te delen met de anderen. Ook wordt de deelnemers gevraagd naar de regel (rechtvaardiging) die uit die bewering gehaald kan worden. Welke levensinzichten (levensprincipes) zijn uit die regels te formuleren? (een levensprincipe is een overtuiging hoe het leven volgens jou in elkaar zit). De deelnemers schrijven de regels en principes op. Ze onderzoeken welke verschillende zienswijzen er zijn uitgesproken en welke tegenover elkaar staan. Deze worden benoemd en beargumenteerd. Neem geen genoegen met één zienswijze, maar daag je denken uit door er een of meer andere zienswijzen naast te plaatsen. (8) & (9)

Niveau 1: het niveau van het inzicht/de Idee
De gespreksleider vraagt de deelnemers naar de essentie van het gesprek: ‘Wat vonden jullie belangrijk?’, ‘Waar draaide het volgens jullie om?’, ‘Wat hebben jullie van dit gesprek geleerd?’.
Het kan helpen na te gaan wat de kardinale deugden[4] hier inhouden:
–      Welke moed, kracht of bezieling wordt van je gevergd? (deugd: dapperheid)
–      Wat moet je opgeven, minderen, waar moet je maat in houden? (deugd: matigheid)
–      Wat moet je onder ogen zien? (deugd: wijsheid)
–      Wat is er nodig om de situatie als geheel in balans te brengen? Stel dat juist deze situatie een gelegenheid voor je was om de wereld gezond te maken, wat zou je dan doen? (deugd: rechtvaardigheid).
(10) De deelnemers formuleren tot slot in één zin wat de ‘sleutel’ van de situatie is.

De socratische methode (filosoferen, zoeken naar wijsheid) is een voortdurend onder woorden brengen waar het om draait, zo nauwkeurig en onderbouwd mogelijk. Toch blijkt het vaak erg lastig – soms zelfs onmogelijk – om je gedachten en het uiteindelijke inzicht waar je naar zoekt goed onder woorden te brengen. Plato beschreef het mogelijke resultaat van dat zoekproces als volgt: ‘Wanneer al die beginselen afzonderlijk, woorden, omschrijvingen, beelden en waarnemingen, met inspanning over elkaar worden gewreven, wanneer zij aan een onbevooroordeeld onderzoek worden onderworpen, en wanneer daarbij vragen worden gesteld en antwoorden worden gegeven zonder enige boosaardigheid, dan gaat rond elk daarvan een lichtend inzicht stralen en een helder besef, zo geconcentreerd als voor menselijke begrippen maar mogelijk is’.

Verder stelt Plato: ‘Bij wie geen innerlijke verwantschap heeft met de zaak kan het inzicht helemaal niet opkomen (ook al kan je goed leren en heb je een goed geheugen, beide overigens ook noodzakelijke voorwaarden om tot inzicht te kunnen komen).’ Het is dan ook niet verwonderlijk dat Plato stelt dat ‘het veel inspanning vraagt van al onze krachten en kost ons veel tijd om tot inzicht in het werkelijk zijnde te komen…[5]

Verder lezen?
J. Kessels, De jacht op een idee, uitgeverij Boom, Amsterdam 2009
J. Kessels, P. Mostert en E. Boers, Vrije ruimte. Filosoferen in organisaties, uitgeverij Boom, Amsterdam 2002
Plato, De Staat, Timaeus, Meno, Theaetetus, Phaedrus, Gorgias, uit Plato, verzameld werk, vert. X. de Win, uitgeverij Pelckmans Agora, Kapellen 1999
Plato, Zevende Brief, C. Verhoeven & B. Schomakers, uitgeverij Damon, Budel 2001
Leonard Nelson, De socratische methode, J. Kessels, uitgeverij Boom, Amsterdam 1994

Vragen binnen de wiskunde die als uitgangsvraag gebruikt kunnen worden een filosofisch gesprek[6] 

  1. Wanneer is iets ‘bewezen’?
  2. Is het zo dat je elke som op verschillende manieren kunt uitrekenen en toch tot dezelfde uitkomst komt? Hoe komt dat?
  3. Hoe bepaal je de stappen om een wiskunde vraagstuk op te lossen? Wanneer is een stap ‘handig’ of ‘noodzakelijk’, en waarom nu en niet eerder of later?
  4. In de wiskunde gelden allerlei ‘regels’; de meeste ken je van buiten en hanteer je. Maar waarom is die regel er ook al weer? En wat als je je niet aan die regel houdt? Waarom mag je bijvoorbeeld niet door nul delen?
  5. Op de meeste scholen in Nederland leer je wiskunde in het Nederlands, met Nederlandse begrippen. Zet eens een lijst van Nederlandstalige wiskundige begrippen naast hun counterpart in het Engels, het Duits, het Frans, het Latijn, … Wat valt je op? Wat leer je over een bepaald wiskundig begrip door te weten wat het in andere talen is?
  6. Zijn wiskundige waarheden echte waarheden?
  7. Waarom is wiskunde een wetenschap?
  8. Kun je spreken van vooruitgang in de wiskunde?
  9. Wat betekent oneindigheid voor jou?
  10. Kan de wiskunde jouw gedachten ordenen? En jouw mens- en/of wereld(beeld)?

  Enkele opdrachten om op een filosofische wijze met wiskunde aan de slag te gaan (thuis, klas, …):

  1. Kies een voor jou interessant (kunst)object uit dat je wilt onderzoeken en stel jezelf vervolgens de volgende vraag: Wat is de harmonie of de verhouding in deze compositie?
  2. Welke wiskundige waarheden zijn aan verandering onderhevig gebleken?
  3. Wat is logisch redeneren? Deze vraag staat centraal in de volgende nieuwsbrief!



[1] Voor de definitie en formulering van de deelgebieden van de wiskunde is gebruik gemaakt van Wikipedia

[2] Zie Plato, Politeia (De Staat), in Plato, verzameld werk, vertaling X. de Win 

[3] Zie ook p. 149 van J. Kessels, De jacht op een idee, waarin o.a. verwezen wordt naar H. Hettner, Italienische Studien, Braunschweig 1879, die als eerste Rafaëls pythagoreïsche tafeltje heeft ontcijferd en geïnterpreteerd.

[4] kardinaal komt van ‘cardo’, wat ‘scharnier’ betekent: het zijn de deugden ‘waar alles om draait’, de centrale deugden. Zie voor een uitwerking van deze deugden Aristoteles’ Ethica Nicomachea

[5] Uit Plato, Zevende brief, vertaling door C. Verhoeven en B. Schomakers

[6] Met dank aan Pieter Mostert voor de vragen 1 t/m 5